Resumen
Las ecuaciones diferenciales son herramientas muy potentes para explicar la dinámica de fenómenos complejos como, por ejemplo, en
Ingeniería, la transmisión de calor, o en Epidemiología, el porcentaje de infectados por una determinada enfermedad. En ambos ejemplos
los inputs (condiciones iniciales/frontera, términos fuentes y/o coeficientes) de la ecuación diferencial correspondiente contienen
incertidumbre, ya que se suelen fijar a partir de datos obtenidos a través de mediciones experimentales (Ingeniería), o la combinación de
muestreo e información epistémica dada a través de metadatos (Epidemiología). A estas fuentes de incertidumbre, en muchas ocasiones
debe añadirse el desconocimiento intrínseco debido a la complejidad del fenómeno objeto de estudio o procedente de su conocimiento
parcial. Desde esta sencilla perspectiva parece claramente fundamentado el enorme interés en avanzar en el estudio de ecuaciones
diferenciales con incertidumbre en su formulación.
Dentro del área de la Matemática Aplicada, este avance debe realizarse en dos frentes. Por una parte, desarrollando la extensión de la
teoría clásica o determinista al contexto aleatorio mediante, por ejemplo, la propuesta de nuevos métodos analíticos y numéricos para el
estudio de ecuaciones diferenciales con incertidumbre y, por otra parte, aplicando los resultados que se obtengan al estudio de modelos
multidisciplinares, con especial énfasis en problemas de interés para nuestra sociedad. En este proyecto consideramos esta dualidad
teoría-aplicación sobre un tipo de ecuaciones diferenciales con incertidumbre, denominadas Ecuaciones Diferenciales Aleatorias (EDAs),
las cuales son particularmente idóneas para modelizar fenómenos reales por su versatilidad en la asignación de las distribuciones de
probabilidad a sus inputs. En la parte teórica se aborda el estudio de diferentes temas sobre EDAs, que tienen como objetivo final llegar a
calcular de forma exacta o aproximada la función de densidad de la solución de algunos tipos de ecuaciones tanto ordinarias, como en
derivadas parciales. También se aborda la extensión de resultados conocidos en el contexto determinista al aleatorio como el estudio de
algunas EDAs con memoria (de tipo fraccionario) o el estudio de técnicas de perturbación estocástica.
Uno de los mayores desafíos al cuantificar la incertidumbre en los modelos basados en ecuaciones diferenciales es el rápido crecimiento
de la complejidad computacional debido al aumento en la dimensión estocástica al representar las variables aleatorias o procesos
estocásticos que aparecen en los inputs de las EDAs, así como la dificultad asociada en la integración. Además, cuando las EDAs se
aplican a datos reales, un segundo desafío es la asignación de distribuciones de probabilidad adecuadas a los inputs de modo que la
respuesta del modelo capture la incertidumbre (variabilidad) de los datos que se busca explicar para poder construir predicciones fiables.
En este proyecto proponemos tratar estos desafíos, para algunos tipos de EDAs, desde un punto de vista teórico y computacional,
abordando además un buen número de aplicaciones en diferentes contextos, como la Ingeniería (osciladores), la Biología (dinámica de
poblaciones) y, especialmente la Epidemiología, con el desarrollo de un modelo estocástico de resistencia a los antimicrobianos.
