Abstract
La clotoide, también conocida como radioide de arcos o espiral de Cornu, recibe su nombre del vocablo griego Klothó que significa "hilandera", es una de las curvas que pertenece a la familia de las espirales, es decir, curvas planas tales que su radio viene dado en función del ángulo: ρ=f(θ). Probablemente fué estudiada por el primer destacado matemático de la familia de los Bernouilli, Jacques Bernouilli (1654-1705) que también se dedicó al estudio de la espiral logarítmica. Otros nombres que recibe esta curva son espiral de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783) o espiral de Cornu, en honor del físico francés Alfred Marie Cornu (1841-1902) quién utilizó esta curva en el diseño de un aparato para medir la intensidad de la luz.
Su utilización más inmediata está en los trazados en planta de obras lineales (carreteras, ferrocarriles, canalizaciones, etc) como curva de transición en carreteras para unir tramos rectos (es decir, con curvatura k=0) con tramos curvos (curvatura k≠0) o para conectar dos tramos circulares (de curvaturas k₁ y k₂). Ésta es su característica más importante, ya que el radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, y esto permite al conductor adaptarse de forma suave al cambio de trayectoria. Los nuevos trazados de carreteras están diseñados como una sucesión de clotoides, así evitamos los tramos rectos excesivamente largos que podían llevar a una conducción monótona, lo que puede provocar distracción y riesgo de accidentes. Para esos casos se utilizan tramos de clotoide con curvatura grande y adaptadas según la longitud que tengamos que cubrir, ya que todas las clotoides son proporcionales y sólo difieren en la escala. La perspectiva que nos ofrece su diseño geométrico y que se traduce en mayor distancia de visibilidad y su fácil adaptación al terreno, son otras de las ventajas de la clotoide. Del estudio dinámico de la clotoide extraemos que, relacionando adecuadamente el radio de curvatura, el peralte y la velocidad, se realizan trazados de carreteras que nos proporcionan sensación de seguridad y comodidad en la conducción.
En este trabajo partimos de la propiedad geométrica que define una clotoide, es decir, una curva plana que en cada uno de sus puntos el producto del radio de curvatura por la longitud de arco recorrido desde el origen es constante e igual a A², y obtenemos su ecuación a partir de las llamadas integrales de Fresnel. En segundo lugar, representamos geométricamente las propiedades que se derivan. En tercer lugar obtenemos una aproximación numérica de la clotoide. Y por último, utilizamos esas aproximaciones para presentar un ejemplo.
