Resumen
Esta tesis se dirige a investigar la aplicabilidad de la geometría lorentziana para representar el movimiento del electrón en átomos hidrogenoides según la teoría cuántica de de Broglie-Bohm (dBB).
Parte de la constatación de que los electrones se comportan de manera diferente cuando forman parte de sistemas atómicos o cuando son no ligados. Mientras que estos, cuando describen trayectorias curvilíneas emiten energía, en los electrones ligados en átomos hidrogenoides según dBB describen trayectorias circulares de manera estacionaria, sin emisión energética.
La anterior consideración nos sugiere la hipótesis de que los electrones ligados a átomos hidrogenoides se mueven en espacios curvos, donde sus trayectorias son geodésicas y por lo tanto sin aceleración ni emisión energética que implicarían inestabilidad de la materia.
Utilizamos la geometría lorentziana y algunos conceptos de la Teoría de la Relatividad General de Einstein con carácter heurístico, para describir este espacio-tiempo. Establecemos una equivalencia a nivel diferencial mediante la tetravelocidad y utilizamos conectores de Levi-Civita, que unifican las geodésicas métricas y las afines. Llegamos así a la formulación de un teorema y algunos corolarios que afectan a los componentes de las métricas que satisfacen la anterior hipótesis.
Estas métricas han de cumplir además la condición de ser comunes a todas las posibles trayectorias de los electrones del mismo estado cuántico magnético y de dos hipótesis adicionales: que la curvatura escalar sea positiva (para evitar trayectorias geodésicas que escapen al infinito y que sea positivo el componente energético del tensor de impulsión- energía correspondiente a la ecuación de campo de Einstein, porque aunque esta es inaplicable a los sistemas cuánticos, modernas modificaciones sugieren que es una suposición plausible.
Con estos condicionantes emprendemos la búsqueda de métricas que cumplan las restricciones mencionadas. Empezamos con dos métricas sencillas que cumplen el requisito del espacio-tiempo común y el carácter geodésico de las trayectorias, pero la curvatura y el componente energético del tensor de impulsión-energía son negativos, por lo que acudimos a utilizar una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein correspondientes a un espacio-tiempo creado por partículas que giran alrededor de un eje (métrica de Lanczos-Van Stockum). Obtenemos así dos métricas que corrigen los defectos de las anteriores, pero sus geodésicas no cumplen exactamente la condición de circularidad.
Finalmente realizamos una síntesis de ambos modelos y obtenemos dos métricas que cumplen razonablemente los requisitos, con las que alcanzamos el objetivo propuesto de representar el movimiento de los electrones hidrogenoides según la teoría dBB en una geometría lorentziana.
El potencial cuántico de la teoría dBB aparece entonces como el que, junto al electromagnético del núcleo, configura una fuerza resultante que hace girar al electrón alrededor de un eje que pasa por el núcleo. En la formulación lorentziana propuesta en este trabajo, esta función es ejercida por la curvatura del espacio-tiempo. También derivamos de nuestras hipótesis heurísticas que la dualidad onda-partícula en la teoría dBB con nuestras consideraciones ejerce una interacción bidireccional más allá del mero papel pasivo que tiene la partícula en esta teoría: onda y partícula quedan al mismo nivel interaccionando una sobre la otra y viceversa de manera dialéctica.
El trabajo se complementa con una introducción histórica, incidiendo particularmente en la tesis de de Broglie y en la deducción de Schrödinger de su famosa ecuación de valores propios, destacando el uso de una métrica riemanniana. Además, se hacen unas reflexiones epistemológicas sobre las teorías físicas incidiendo en la dialéctica y la libre creación de conceptos, como podría ser el caso de alguna de las partes de nuestro trabajo.
