Resumen
El clásico teorema de Nykodym (1933) afirma que si un subconjunto H de medias complejas numerablemente aditivas definidas en una sigma-algebra S está acotado en cada elemento de S, entonces H está uniformente acotado en S. Es bien conocido que este teorema no es cierto en general si se sustituye la sigma-álgebra S por un álgebra.
Sea A un álgebra de subconjuntos de un conjunto no vacío, y consideremos el espacio de Banach ba(A) de las medias reales (o complejas) finitamente aditivas de variación acotada definidas en A. Un subconjunto B of A se dice que tiene la propiedad N (propiedad de Nikodym) si para cada subconjunto M of ba(A) que sea B-puntualmente acotado se tiene que M es uniformemente acotado en A.
Recordemos que el clásico teorema de Nikodym-Dieudonné-Grothendieck's dice que cada sigma-algebra tiene la propiedad N.
Además se dice que B tiene la propiedad N-fuerte si cada para cada cubrimiento numerable creciente (B_{m})_{m} de B existe B_{n} que tiene la propiedad N.
Valdivia demmostró en 1979 que cada sigma-algebra tiene la propiedad N-property.
Este teorema de Valdivia motivó demostrar que cada sigma-algebra S de subconjuntos de un conjunto tiene la propiedad N para mallas crecientes, es decir, si (B_{m_1})_{m_1} es un cubrimiento numerable creciente de S y si (B_{m_1},_{m_2},....,_{m_p},_{m_{p+1}})_{m_{p+1}} es un cubrimiento numerable creciente de B_{m_1},_{m_2},....,_{m_p}, para cada números naturales p, mi, con i=1, 2,..., p, entonces existe una sucesión (n_{r})_{r} tal que B_{n_1},_{n_2},....,_{n_r} tiene la propiedad N para cada r = 1, 2, 3, ...... .
En la tesis se prueba que casi todas las cadenas infinitas en una malla creciente (B_{m_1},_{m_2},....,_{m_p}: m_i=1,2,... , i=1,2,...,p, and p=1,2,.....} están compuestas de conjuntos que tienen la propiedad N para mallas crecientes.
El resultado principal de la tesis prueba que el algebra J(K) de los subconjuntos Jordan medibles de un intervalo compacto k-dimensional K contenido en R^k tiene la propiedad N para mallas crecientes. Este resultado mejora el resultado de Valdivia de 2013 de que J (K) tiene la propiedad fuerte de Nikodym, que a su vez mejoraba un resultado anterior de Schachermayer, quien probó que J ([0; 1]) tiene la propiedad N.
El análisis de la demostración de este resultado nos ha permitido dar una condición suficiente en un álgebra de subconjuntos de un conjunto que implica la propiedad wN. Esta condición suficiente la verifican tanto las sigma-álgebras como el álgebra J (K), por lo que las propiedades wN de cualquier sigma-álgebra y de J(K) se podían haber presentado como corolarios de dicha condición suficiente. Ha parecido más natural seguir el orden cronológico, tal como se ha hecho en la Tesis.
En el capítulo 5 se considera el problema planteado por Valdivia en 2013. Consiste en averiguar si el que un álgebra A de conjuntos tenga la propiedad N implica o no el tener la propiedad sN. En la sección 5.2 se considera este problema en el contexto más general de los espacios normados, pues un subconjunto B de un álgebra A tiene la propiedad N si cada subconjunto M de medidas acotadas, finitamente aditivas y puntualmente acotadas en el conjunto de funciones características de los conjuntos de B verifica que M es un subconjunto acotado del espacio de Banach de dichas medias finitamente aditivas y acotadas definidas en A con la norma supremo, lo que lleva al estudio de los conjuntos DAU que determinan la acotación uniforme en un espacio normado.
Se presentan varias aplicaciones de los resultados obtenidos a problemas de localización de medias vectoriales y de convergencia de sucesioens de medias y varios problemas abiertos.
La limitación de número de caracteres impide comentar otros resultados. Terminamos este resumen indicando que hemos probado que las propiedades wN, w(sN) y w(wN) son equivalentes.
