Resumen
Cada día, los ingenieros en las distintas ramas industriales afrontan problemas más complejos y necesitan tener un conocimiento más profundo de los fenómenos físicos involucrados y herramientas más sofisticadas para elaborar sus diseños. En la mayoría de casos, los modelos matemáticos que explican la física son conocidos y la principal limitación reside en la validación y optimización de los diseños. Con el prototipado relegado a las etapas finales dado su alto coste, los métodos de análisis numérico por ordenador son la elección natural para estas evaluaciones. La paleta de métodos es considerable con formulaciones especialmente adaptadas para casos concretos. Sin embargo, la resolución de problemas de gran tamaño y complejos tanto desde el punto de vista de la física como del dominio sigue siendo un reto debido a la gran cantidad recursos que requieren estas simulaciones.
Los problemas transitorios de electromagnetismo abordados dentro de industrias como la aeronáutica, telecomunicaciones o defensa entran dentro de esta categoría. Aunque históricamente han confiado en el método de las diferencias finitas en el dominio temporal por su simplicidad, la creciente complejidad de las simulaciones ha favorecido la adopción del método de elementos finitos (MEF) gracias a su mayor versatilidad. Sin embargo, la formulación tradicional del MEF no satisface las necesidades actuales de la industria ni en términos de precisión ni de eficiencia.
En esta tesis se exploran distintas tecnologías del ámbito del MEF y se combinan en una nueva metodología, el Cartesian grid discontinuous Galerkin method (cgDG), que potencia las sinergias a parecen entre ellas. Los pilares del método son: los elementos de alto grado, la formulación Galerkin discontinua y la discretización con mallas Cartesianas. Primero, los elementos de alto grado han demostrado ser más eficientes a la hora de capturar soluciones suaves requiriendo menos grados de libertad que sus equivalentes de bajo orden para alcanzar un mismo nivel de precisión. Segundo, la formulación Galerkin discontinua tiene propiedades interesantes que le permiten capturar fielmente la física a la vez que divide el problema original de gran tamaño en un conjunto de problemas pequeños que se pueden resolver de forma más eficiente. Por último, la discretización con mallas Cartesianas vuelve trivial el proceso de generación de la malla, simplifica su evaluación, da una gran libertad a la hora de capturar el dominio del problema y permite reducir los recursos que son necesarios para resolver un problema. La combinación de estas tecnologías en un único método tiene un gran potencial, pero su desarrollo plantea grandes retos: el cálculo de cuadraturas de integración que permitan alcanzar los órdenes de convergencia esperados para las aproximaciones de alto grado, el diseño de estrategias que mejoren localmente el condicionamiento de la solución, el desarrollo de técnicas que aseguren la eficiencia del método con independencia de la posición del dominio dentro de la malla Cartesiana,...
La metodología cgDG que se propone en esta tesis agrupa un abanico de soluciones innovadoras que vienen a dar respuesta a cada uno de estos retos. Se han desarrollado implementaciones del cgDG para resolver problemas de advección y de electromagnetismo tanto para el caso plano como tridimensional. Lo resultados numéricos obtenidos demuestran la efectividad de cada una las soluciones propuestas así como el buen comportamiento de la metodología aún aplicada en escenarios complejos. Con la vista puesta en aumentar la eficiencia de las simulaciones y facilitar la labor de los usuarios, en una última etapa de la tesis se han investigado indicadores de error y regularidad de la solución que permitan guiar una estrategia de adaptación automática de la malla. Los resultados preliminares obtenidos para problemas planos resultan prometedores y animan a seguir trabajando en esta línea.
Palabras clave
Elementos finitos; formulación Galerkin discontinua; mallados cartesianos; aproximaciones de alto orden; integración numérica de polinomios de alto grado en dominios con frontera NURBS; hp-adaptación automática de mallas; resolución de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicos; ecuaciones de Maxwell; simulación en régimen transitorio;
